一个入门水平的简单统计力学教程[未完工]

\(
\def \bra#1{{\langle #1 \rvert}}
\def \ket#1{{\lvert #1 \rangle}}
\def \braket#1#2{{\langle #1 | #2 \rangle}}
\def \expect#1{{\langle #1 \rangle}}
\)

这篇文章大概是从高中的时候就打算写,不过考虑到长度过长,来北大之后就一直没有时间动笔。最近刚好考完了一波期末,两学期的物理化学课程也结课,准备趁着摸鱼的这小段时间简单地介绍一下统计力学当中比较浅薄的概念。(顺便:强力推荐化院高毅勤和刘剑两位老师合授的物理化学英文版课程,010-01035200-1006172506-1,化院两年以来上的最有价值的课,虽然我是个菜逼,依然学到很多)

对于我个人来说,中学时期接触统计力学思想之前,学习经典热力学漫长又缺乏清晰内核的经历是相当痛苦的。因此我认为从微观的角度出发,尤其是从分子动力和量子力学的角度出发,结合微观与宏观的关系来理解热力学量的成因是一条更为清楚、更加富有内涵的道路。并且,理解微观与宏观的联系方法 (eg. Fokker-Planck equation),对于社会统计、微观/宏观经济学、生态学等其它学科的理解也是至关重要的 (as an interesting example, see this and  this)。

作为一个初级的统计力学教程兼一篇安利性质的文章,我认为不应该有过多的具体实现细节,并且希望尽量写得轻松一点。作最简陋的打算,文章主要会把握住微观与宏观的联系这条主线,考虑相应简单地介绍数学背景和物理图像。在此之外,如果我还有时间完善文章,作最理想的打算,则物理化学内容方面,希望尽量包括化院本科的化数、物化、中级物化课的初级内容和其它学校一些研究生课程的内容;算法和代码方面,打算尽量讲清思路,并结合我自己的编码经验,偶尔会给出python或者类C代码的伪实现;数学方面,希望能摆脱初级微积分的技巧性操作,尽量从抽代、实变、泛函、几何之类的角度,建立高观点来看待复变、概率、ODE、PDE等等需要用到的工具中的技巧,试图寻找比较优雅的理解问题的方法。

文章的主体结构我目前计划是这样:

目前暂时先把结构列出,把坑挖好,内容我打算慢慢施工。。大概很长时间之后应该能完结吧。只有章节名没有内容的,以及章节内标记[TODO]的部分都是未完成的区域。[/TODO]

有的内容十分不容易找到中文资料。我尽量用中文写这篇文章,但为了准确的考虑,相关名词一般用英文,第一次出现时,我可能简单翻译一下。对于国内介绍比较少的部分,因为相关的中文学术名称还没有统一,可能只能用英文来写。

对于有的独立性较强的内容,如果篇幅很长,我会把它分离成一篇独立的文章。

因为我菜得可以,文章必定有大量谬误,请留言指正或者发邮件告诉我

主要参考:

[1] Mark E. Tuckerman, Statistical Mechanics: Theory and Molecular Simulation, Oxford University Press, USA, 2010

[2] Daan Frenkel, Berend Smit, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications, Academic Press, 2002

[3] 朗道,理论物理学教程

0. 数学、物理、化学和计算机科学基本背景

对于这篇文章,考虑到受众主要是高年级中学生,因此假设读者至少已经学过数学分析、高等代数(或者线性代数)等入门课程,对基本的数学分支和工具有一定了解;物理上至少学过普通的高中物理,对牛顿定律和简单的量子论有一定了解;化学上至少知道原子,对热力学有简单了解;计算机科学上至少会简单使用unix系操作系统,对编程有简单概念。

在开始统计力学之前,我打算先把用到的核心知识略微回顾一遍。如果已经比较了解相关背景,可以跳过第0章。

0.1 数学复习

0.1.1 抽代复习

一些结构的定义

群作用

一些常用定理等

0.1.2 实变复习

测度论等

0.1.3 泛函复习

空间概念等

0.1.4 复变复习

复平面的拓扑

Cauchy定理

全纯/亚纯函数

留数定理

0.1.5 概率论复习

公理化定义

连续和离散分布

联合分布

大数定律和中心极限定理

0.1.6 统计学复习

0.1.7 ODE复习

0.2 物理复习

0.2.1 牛顿力学复习

经典力学(Classical Mechanics)

经典力学是牛顿提出的一套适用于中等尺度世界的近似运动定律,它忽略相对论效应和量子效应。尽管牛顿提出经典力学主要是解释天体的运动,经典力学在描述一般物体的运动上也是十分精确的。

分子动力学(molecular dynamics)主要是经典力学在分子尺度的应用。在分子尺度,量子效应不再能够忽略,但是经典力学在某些方面依然可以作为一个良好的近似。分子动力学有很多典型应用,例如蛋白质/核酸的折叠模拟,材料科学方面表面催化/表面功能化(surface functionalization)和玻璃的机理等问题的研究,纳米技术中自组装现象的研究等等。

牛顿(Newton)运动定律

1687年左右牛顿给出三条运动定律:

  1. 没有外力的情况下,物体或者以速度 \(\mathbf v\) 做匀速直线运动,或者静止不动。
  2. \(\mathbf F = m\mathbf a\)
  3. 力的作用是相互的,\(\mathbf{F_{AB} = F_{BA}}\)

一个质点在经典情况下的运动,可以用Cartesian坐标

$$\vec r(t) = (x(t), y(t), z(t))$$

来完全描述。其速度为

$$\vec v(t) = d\vec r(t) / dt $$

[TODO] 加速度(acceleration),力(force),功(work),轨迹(trajectory),粒子(particle),运动的解法,初值(initial conditions),保守力(conservative forces),能量(energy),动能(kinetic energy),势能(potential energy),守恒(conservation) [/TODO]

在牛顿框架下,确定一组初值之后,物体的轨迹是完全确定的。但对于多粒子系统,其产生的微分方程复杂度过高。对此有两种方法

  1. 考虑一个非常理想的简单系统
    简化的系统可以被解析地求解,用处非常有限。不过这种方法可以提供物理上的insight,可以分析不同的初值和外部条件下系统的行为。
  2. 采用一个较小的系统,通常有\(10^2~10^9\)个粒子
    对给定的初值和边界条件下进行数值求解(即所谓“模拟(simulations)”)。可以处理较大的体系,但对于每个不同的情况,都必须重新计算。此外,无法确定精确的相互作用力,必须引入模型。

0.2.2 经典理论力学复习

相空间(phase space)的概念

N-particle系统的所有经典动力学(classical dynamics)可以由6N个函数描述:(或者说2dN个,d是维数。由于我们是3维,因此d=3)

$$\{\vec r_1(t), \vec r_2(t), …, \vec r_N(t), \vec p_1(t), \vec p_2(t), …, \vec p_N(t)\}$$

定义相空间向量:

$$x = (\vec r_1(t), \vec r_2(t), …, \vec r_N(t), \vec p_1(t), \vec p_2(t), …, \vec p_N(t))$$

则经典运动(classical motion)都可以用相空间中的一条曲线描述,参数为t。这就是所谓的轨迹或轨线(trajectory)

举几个例子:

[TODO]

I. free particle

II. harmonic oscillator

III. separatrix

[/TODO]

相空间通常是一个非常高维的空间,要在3维空间之内画出其中的轨迹,只对1维情况下的运动是可能的(p和x两个维度)。两种有用的可视化方法是

[TODO]

  1. 只画出感兴趣的coordinates和对应的动量
  2. 庞加莱截面(Poincaré section),(补充介绍动力系统)
    [/TODO]

拉格朗日(Lagrangian)力学

拉格朗日力学是一套和牛顿力学等价的表述方法,也叫拉格朗日表述(Lagrangian formulations)。一般来说拉格朗日力学要求保守力场。

首先,一个系统的动能为:

$$ K(\dot{\vec {r_1}}, \dot{\vec {r_2}}, …, \dot{\vec {r_N}}) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2}m\dot{\vec {r_i}}^2$$

拉氏量(Lagrangian,或拉格朗日量)定义为动能减去势能

$$ \mathcal L = K(\dot{\vec {r_1}}, \dot{\vec {r_2}}, …, \dot{\vec {r_N}}) – U({\vec {r_1}}, {\vec {r_2}}, …, {\vec {r_N}}) $$

欧拉-拉格朗日方程(Eular-Lagrangian equation)的形式:

$$ \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\vec {r_i}}})  –  \frac{\partial \mathcal L}{\partial {\vec {r_i}}} = 0 $$

或:

$$ \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q_i}})  –  \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = 0 $$

用Eular-Lagrangian方程可得到系统的运动方程。

[TODO] 证明以上定义与牛顿的定义等价 [/TODO]

使用这套系统的好处是可以用一种系统的方法得到广义坐标下的运动方程。而使用广义坐标的好处是

[TODO]广义坐标(generalized coordinates)[/TODO]

广义坐标一般是一套与Cartesian坐标自由度相同的坐标,因此它和Cartisian坐标一样都能完全确定系统的位置状态:

$$ (q_1, q_2, …, q_{3N}) = f(\vec r_1, \vec r_2, …, \vec r_N)$$

其中

$$ q_{\alpha} = f_{\alpha}(\vec r_1, \vec r_2, …, \vec r_N), \alpha = 1 \sim 3N $$

一般假设\(f\)是一一映射,即假设\(f\)存在唯一的逆\(g\),满足

$$ \vec r_{i} = g_{i}(q_1, q_2, …, q_{3N}), i = 1 \sim N $$

由链式求导法则,

$$\dot{\vec{r_i}} = \sum_{\alpha = 1}^{3N} \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_{\alpha}} \dot{q_{\alpha}}$$

从而在广义坐标下动能可以表述为

$$\begin{align}
\tilde K(q, \dot q) &= \sum_{i=1}^N \frac{1}{2}m\dot{\vec {r_i}}^2 \\
&=  \sum_{i=1}^N \frac{1}{2}m (\sum_{\alpha = 1}^{3N} \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_{\alpha}} \dot{q_{\alpha}})^2 \\
&= \frac{1}{2} \sum_{\alpha = 1}^{3N} \sum_{\beta = 1}^{3N} (\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_{\beta}} ) \dot{q_{\alpha}}\dot{q_{\beta}} \\
&= \frac{1}{2} \sum_{\alpha = 1}^{3N} \sum_{\beta = 1}^{3N} G_{\alpha\beta}(q_1, q_2, …, q_{3N}) \dot{q_{\alpha}}\dot{q_{\beta}} \\
\end{align}$$

\( G_{\alpha\beta}(q_1, q_2, …, q_{3N}) = (\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_{\beta}} ) \)称为质量度量张量(mass metric tensor),度量张量在国内物理学中一般也翻译为度规张量。

从而有

$$ \mathcal L =\tilde K(q, \dot q) – \tilde U(q) $$

[TODO]

几个用拉格朗日表述来简化运动方程的例子,

I. 中心势(central potential),即\(U(r) = U(|r|)\),势能只和到中心的距离有关。常见的库伦势,重力势,谐振子(球谐)等均属于中心势

循环坐标(cyclic coordinate, or ignorable coordinate),轨道角动量(orbital angular momentum),中心势下的开普勒第二定律(Kepler’s second law)

II. 二粒子系统

质心(center-of-mass),相对坐标(relative coordinates)

[/TODO]

勒让德变换(Legendre transforms)

为了阐述Hamiltonian力学,需要先介绍勒让德变换(Legendre Transform)。

如果我们已知一个一元函数 \(f(x)\),并且假设这个函数具有相当好的性质,比方说在任意的点上都可以对它求导数,即有 \(s=f'(x)\) ,如何找到一种一一映射,将 \(f(x)\) 变换为 \(s\) 的函数 \(\tilde f(s)\) ?这是勒让德变换考虑的问题。

考虑 \(f(x)\) 在每一点的切线上的截距 \(b(x)\) ,设\(s=f'(x)=g(x)\) ,则有 \(x=g^{-1}(s)\),则 \(f(x)=f'(x)\cdot x + b(x)\),因此,

$$ b(x) = b(x(s)) = f(x(s)) – s \cdot x(s) $$

含有与 \(f(x)\) 相同的信息。由此,定义函数

$$ \tilde f(s)  = b(x(s)) = f(x(s)) – sx(s) $$

称为 \(f(x)\) 的Legendre变换。

考虑其在多元函数上的推广,则得到广义Legendre变换 (generalized Legendre transform):

$$ s_i = \frac{\partial f}{\partial x_i} = g_i(x_1, x_2, …, x_n) $$

$$ \tilde f(s_1, s_2, …, s_n) = f(x_1, x_2, …, x_n) – \sum_{i=1}^n s_ix_i $$

注意:Legendre变换也可以仅对一部分变量进行变换,即可以用在变量的一个子集上。

哈密顿(Hamiltonian)力学

[TODO]

对 Lagrangian 做 Legendre transform 获得 Hamiltonian

Hamiltonian mechanics的运动方程

广义动量和坐标之间的关系,质量度规张量矩阵乘法

Hamiltonian对时间的守恒关系,任意相空间上的函数随时间的演化

$$a(t) = \{a, \mathcal H\}$$

泊松括号(Poisson bracket)

动量守恒

$$\{\mathbf P, \mathcal H\}$$

平移群(translation group)

Noether’s theorem (如果Hamiltonian在群\(\mathcal G\)群作用下守恒,则必定存在一个对应的守恒定律(conservation law)。例如平移群和动量守恒)

相空间不可压缩性(phase space incompressibility)

哈密顿运动方程的辛结构(symplectic structure)

$$ \mathbf M = \begin{pmatrix}
\mathbf 0 & \mathbf I \\
\mathbf{-I} & \mathbf 0 \\
\end{pmatrix} $$

symplectic property

$$\mathbf{M=J^TMJ}$$

举例:用哈密顿力学处理聚合物长链的谐振子模型,简正模分析,(生物分子)

Code example

[/TODO]

作用量(action)

[TODO]

拉格朗日的作用量积分(action integral),变分原理(variational principle),

local functional

由拉格朗日量的变分推Eular-Lagrangian方程

在光滑、性质良好的力场下,初值问题保证解的唯一性。end-point变分法得到的轨迹是否也能保证解的唯一性?(不)

其它作用量,哈密顿最小作用量原理(Hamilton’s principle of least action)

参考Goldstein, Classical Mechanics

[/TODO]

拘束(constraint)系统,高斯(Gauss)最小拘束原理

多数时候,考虑运动系统时,其间的粒子满足一定的约束关系(Constraints)。这些约束可能是为了简化考虑(例如把振动频率很高的化学键看作是定长),也有可能是物理上确实存在的约束(比方说刚性的盒子作为边界,控温或者控压设施等等)

N个粒子的系统没有拘束的情况下有3N个自由度。当存在\(N_c\)个约束的时候,总自由度为\(3N – N_c\)。

holonomic constraint(完整约束,我也不知道准确的中文是什么,随便翻译的)是指仅涉及位置和时间的约束,其约束方程形式为

$$\sigma_k(q_1, q_2, …, q_{3N}, t), k=1, 2, …, N_c$$

eg. 几个粒子之间存在一个刚性约束,或者粒子被限制在一个球面上运动。这是典型的holonimic constraint。

nonholonomic constraint(非完整约束)则还涉及到速度(或者说动量)

$$\zeta (q_1, q_2, …, q_{3N}, \dot q_1, \dot q_2, …, \dot q_{3N}, t)$$

eg. 保持系统的总动能不变,即恒温。这是一个典型的nonholonimic constraint。

一种处理约束的方法是选取合适的广义坐标。由于自由度的减少,我们总是能找到一组\(N_c\)个广义坐标来表述我们的系统,且这\(N_c\)个坐标之间是独立的。确定合适的坐标之后,再用以上介绍的L或者H方法(用质量度规张量做变换,再代入EL或者H运动方程)就能方便地得到运动方程。例如处理被约束在球面上运动的系统,选取新的坐标\( (\theta, \phi) \) 即可。

选取广义坐标的方法虽然其存在性可以保证,但对某些体系实际处理时会较为复杂。实际上,处理经典力学问题时最常用的方法是拉格朗日不定乘子法(Lagrange undetermined multipliers)。

[TODO]由变分原理推拉格朗日不定乘子法[/TODO]

注意到即使在含时的 holonomic constraints 下,Hamiltonian 依然是守恒量。

[TODO]

高斯最小拘束原理(Gauss’s principle of least constraint)

高斯运动方程(Gauss’s equation of motion)

$$ m\ddot{\mathbf r} = \mathbf F – \frac{\nabla \nabla \sigma \cdot \cdot \dot{\mathbf r} \dot{\mathbf r} + \nabla \sigma \cdot \mathbf F / m}{|\nabla \sigma|^2 / m}\nabla \sigma $$

\(\dot{\mathbf r} \dot{\mathbf r}\) is the velocity–vector dyad, and \( \nabla \nabla \sigma \cdot \cdot \dot{\mathbf r} \dot{\mathbf r} \) indicates a full contraction of the two tensors \( \nabla \nabla \sigma \) and \(\dot{\mathbf r} \dot{\mathbf r}\)

高斯运动方程守恒能量和约束,并且无法从Hamiltonian或者Lagrangian得到,因此,它是一种非哈密顿动力系统(non-hamiltonian dynamical system),见本章末。

[/TODO]

刚体(rigid body)运动

[TODO]

刚体是指?

用处?

角速度angular velocity,转动惯量moment of inertia,角动量angular momentum,力矩torque,

欧拉角(Euler angles)

quaterions & quaternions

[/TODO]

非哈密顿系统

0.2.3 量子力学复习

0.3 化学复习

0.3.1 热力学复习

0.3.2 动力学复习

 

1. 经典统计力学的理论基础

1.1 经典热力学(thermodynamics)定律

[TODO]

简单复习一下热力学定义

  1. 热力学系统是一种宏观系统。热力学的研究总是把宇宙分为系统和环境
  2. 如果…

第一定律

第二定律,Carnot循环

第三定律,

[/TODO]

1.2 系综(ensemble)的概念

大量具有同样的某组宏观属性(eg. (N, V, E))的系统,各自由不同的初值演化,故在任意同一时刻,所有系统具有不同的状态。

宏观的可观测量可由对系综中所有成员进行平均得到

$$ A = \frac{1}{\mathcal Z} \sum_{\lambda = 1}^{\mathcal Z} a(x_{\lambda}) =   \expect{a} $$

1.3 相空间体积和刘维尔(Liouville)定律

考虑相空间中的体积元随演化的变化的问题。

假设我们的系统从\(x_0\)开始演化,到t时刻到达\(x_t\)。由于牛顿力学下 \(x_0 \leftrightarrow x_t\) 是一一映射,故这一演化相当于坐标变换 \(x_0 \to x_t\)。设J是该变换的Jacobian矩阵,有

$$ \frac{dx_t}{dx_0} = J(x_t; x_0) = det \mathbf J , \mathbf J_{ij} = \frac{\partial x_{ti}}{\partial x_{0j}}$$

从而

$$ dx_t = J(x_t; x_0) dx_0 = det (\mathbf J) dx_0 $$

因此,要给出  \(dx_0 \to dx_t\) 的关系,需要求\( det (\mathbf J) \)。回忆线性代数的两个关系

$$ det (e^{\mathbf A}) = e^{Tr \mathbf A} $$

$$ d Tr \mathbf A =  Tr d \mathbf A $$

$$\begin{align}
det(\mathbf J) &= e^{Tr[ln \mathbf J]} \\
\frac{d}{dt} det(\mathbf J)&= \frac{d}{dt} e^{Tr[ln \mathbf J]}  \\
&= e^{Tr[ln \mathbf J]} \frac{d}{dt} Tr[ln \mathbf J] \\
&= det(\mathbf J) Tr[\frac{d\mathbf J}{dt} \mathbf J^{-1}] \\
&= det(\mathbf J) \sum_{k, l} \frac{d\mathbf J_{kl}}{dt} \mathbf J^{-1}_{lk} \\
\end{align}$$

由于

$$ \frac{d\mathbf J_{kl}}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{\partial x_{tk}}{\partial x_{0l}} = \frac{\partial \dot{x_{tk}}}{\partial x_{0l}} $$

$$ J^{-1}_{lk} = \frac{\partial x_{0l}}{\partial x_{tk}} $$

$$ \frac{d}{dt} det(\mathbf J) =  det(\mathbf J) \sum_{k, l} \frac{\partial \dot{x_{tk}}}{\partial x_{0l}} \frac{\partial x_{0l}}{\partial x_{tk}} =  det(\mathbf J) \sum_{k} \frac{\partial \dot{x_{tk}}}{\partial x_{tk}} = 0 $$

因此,

$$ \frac{d}{dt} J(x_t; x_0) = 0$$

又由于 \(J(x_t; x_0) = 1\),

$$ J(x_t; x_0) = 1 $$

$$ dx_t = dx_0 $$

此即刘维尔定理。

在我们以上的推导中,我们隐式地(implicitly)假设了相空间具有平直欧氏空间的度量(metric)。在此度量下,刘维尔定理仅仅在Hamiltonian dynamics下成立。在以后我们可以看到,对于non-Hamiltonian的系统,采用黎曼空间(Riemann space)是更加自然的选择。在此几何下,相空间的体积元与度规张量的行列式有关,并且存在广义的刘维尔定理 (Tuckermann et al., 2001)。我们将在稍后的章节继续讨论这一问题,并将其应用在非哈密顿体系的分子动力学上。

1.4 系综分布函数(distribution function)和刘维尔方程

系综中含有许多系统。由于初值不同,在任意同一时刻t,各个系统在相空间中各自处于不同点。相空间的一个概率密度 \( f(x, t) \)称为系综分布函数(ensemble distribution function)或者相空间分布函数(phase space distribution function)。这一函数的物理意义一般认为是系综中所有成员在相空间的分布密度,因此其满足正定,归一。

由于演化时系综的成员不会凭空消失或者生成(现在可以先假设如此),对于相空间的任意区域\(\Omega\),应在围绕该区域的超平面S上满足通量方程

$$ \int_{\Omega} dx \nabla \cdot (\dot{x} f(x, t)) = \int_S dS \dot{x} \cdot \hat{\mathbf n} f(x,t)  $$

注意:我们在这里省略了\(x_t\)中的t。记住x是显含时间的。

分部积分,可得

$$ \int_{\Omega} dx [\frac{\partial}{\partial t} f(x,t) + \nabla \cdot (\dot{x} f(x, t))] = 0 $$

由于区域\(\Omega\)的任意性,以上方程必须处处成立,即

$$  \frac{\partial}{\partial t} f(x,t) + \nabla \cdot (\dot{x} f(x, t)) = 0 $$

由于相空间不可压缩性,

$$  \frac{\partial}{\partial t} f(x,t) +   \dot{x} \cdot \nabla f(x, t) = 0 $$

注意到以上等式事实上就是

$$ \frac{df}{dt} = 0 $$

此即经典力学的刘维尔方程。

1.5 刘维尔方程的平衡解

2. 微正则系综和分子动力学简介

2.1 玻尔兹曼(Boltzmann)关系,微正则系综(microcanonical ensemble)的配分函数(partition function)

2.2 经典位力(virial)定理

2.3 热平衡的条件

2.4 自由粒子和理想气体

2.5 谐振子,harmonic baths

2.6 分子动力学(molecular dynamics)

2.7 有限差分法(finite difference method, FDM)

2.8 systems subject to holonomic constraints

3. 正则系综

4. 等压系综

5. 巨正则系综

6. 蒙特卡洛方法

7. 自由能计算

8. 量子系综和密度矩阵

9. 费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计(量子理想气体)

10. 费恩曼的路径积分方法

11. 经典含时统计力学

12. 量子含时统计力学

13. 朗之万方程和广义朗之万方程

14. 临界现象

3 thoughts on “一个入门水平的简单统计力学教程[未完工]”

  1. 一本科毕业只有高中数学基础的法科生,希求一个大学数学入门教程 = =
    请不吝赐教!

    一暗中观察与钦敬者

    1. 复制一下以前我在V站给的书单
      大学数学内容很多,而且没有类似普化普物这样结构性的课程,可能需要一点功夫。。
      我大概可以记得起来的用过的比较好的教材是这些,有的可能已经有点过时了,不过作为入门应该还是很好的。
      数学分析 教材可以用伍胜健的小黄书123 ,参考书可以用陶哲轩的《Analysis I》,视角很广
      高等代数 丘维声写过很多这方面的书,有两本很薄的小书配合他的两本学习指南,非常清楚
      实变和泛函 主要看夏道行的那两本银黑色的书。郭懋正也有一本实变函数与泛函分析,讲得比较浅显
      抽象代数 还是推荐丘维声的《近世代数》,蓝黄色的
      概率和统计 如果夏道行的实变书研究得比较清楚的话,这部分会感觉很轻松。大概看下陈家鼎的那本黄色的书,很简单。可以参考《概率论基础教程》 S. M. Ross
      复变的话,谭小江的《复变函数简明教程》讲得比较简单,参考书可以用方启勤的《复变函数教程》和Ahlfors《Complex Analysis》
      常微分用经典的丁同仁那本 ,参考书 Arnold
      拓扑用尤承业的拓扑学讲义
      微分几何可以用陈维桓的微分几何初步
      这些书都比较简单,比较适合外行人入门或者复习数学。

      另外下面是一些比较难的书,个人推荐学完框架之后有空都看看,但是简单学一下的话也可以不看这部分

      Rutin 数学分析原理
      Artin 代数
      Princeton 的 4 本分析教程 (傅立叶,实变,复变,泛函)
      离散数学 Kenneth H.Rosen

      先修课程需要高等数学(教材是北大出版社的红色书),线性代数(教材是丘维声的简明线性代数)
      基础好推荐尽量看国内教材,废话少,抽象,重点突出,效率高。基础不好推荐多看国外教材,比较形象。

      我有空了大概会写一个教程性的看书指南。。

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